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四维超空间是什么样子?

2019年09月17日 04:35来源:网络整理手机版

  “三维世界”的概念,我们早已耳熟能详,但第四维的概念常常蒙着一层惹人疑惑的神秘色彩。作为被长度、高度和宽度所限的生物,我们哪儿来的胆量高谈阔论四维空间?

  用尽我们三维头脑的所有智慧,是否有可能想象出四维超空间的模样?

  四维的立方体或者球体看起来会是什么样子?

  如果要你想象一头尾巴长满鳞片、鼻孔喷出火焰的巨龙,或者一架内设游泳池、机翼上有网球场的奢华飞机,你会在脑海中绘出一幅画面,试图描摹这件物体突然出现在你眼前的时候会是什么模样。

  而这幅画的背景自然是正常的三维空间,你熟悉的所有物体,包括你自己在内,都存在于这样的空间里。如果这就是“想象”的确切含义,那么我们似乎不太可能想象出以正常三维空间为背景的四维物体,正如三维物体不可能被挤进平面一样。

  但是,等等,从某种意义上说,我们的确能将三维物体压进平面,只要画一幅画就行。

  不过在这种情况下,我们借助的当然不是液压机床或者其他什么物理力量,而是一种名为几何“投影”的绘画技巧。要将某件物体(比如说一匹马)压进平面,看看下图,你立即就会明白这两种方式有何区别。

将三维物体“压在”二维面上的两种方法,左边的方法是错的,右边的法子才对

将三维物体“压在”二维面上的两种方法,左边的方法是错的,右边的法子才对

  以此类推,现在我们可以说,如果非要将四维物体“挤入”三维空间,那它难免会有些零件左右支棱,但我们的确可以讨论各种四维图形在我们这个三维空间中的投影。不过你必须记住,既然三维物体在二维面上的投影只有两个维度,那么四维超物体在普通三维空间内的投影也必然是三维的。

  为了更清楚地理解这一点,首先我们不妨试想一下,生活在二维面上的影子生物该如何理解三维立方体的概念;我们能够轻而易举地想象这一幕,是因为我们生活在“更高级”的三维空间里,所以我们才能从上方,也就是从第三个方向,观察这个二维世界。

  要将一个立方体“压进”二维面,唯一的办法就是按照下图所示的方法将它“投射”到这个面上。如果我们的二维朋友看到这个投影,以及旋转立方体得到的其他方向的投影,那么他们至少会对这个名为“三维立方体”的神秘物体形成一些粗浅的理解。

二维生物惊讶地望着三维立方体投射在他们生活的二维面上的影子

二维生物惊讶地望着三维立方体投射在他们生活的二维面上的影子

  他们当然无法“跳出”自己所在的二维空间,像我们一样亲眼观察这个立方体的模样,但通过二维投影,他们至少会发现,这个立方体拥有8个顶点和12条边。现在看看下面那张图,你会发现自己的处境和那些在二维面上研究三维立方体的可怜的影子生物完全一样。

  画面上这惊奇的一家子正在研究的那个复杂的奇怪结构实际上是四维超立方体在普通三维空间内的投影。(更确切地说,你在下面这张图中看到的是四维超立方体在三维空间内的投影在二维纸面上留下的投影。)

  仔细研究这个图形,你很容易发现超立方体的一些特性,和上图中那些困惑的影子生物观察到的差不多:三维立方体在平面上的投影表现为两个嵌套正方形,它们的顶点两两相连;而超立方体在三维空间内的投影由两个嵌套立方体组成,顶点同样两两相连。

  数一数你就知道,这个超立方体一共有16个顶点,32条边和24个面。看起来真够怪的,对吧?

来自第四维的客人!四维超立方体的直接投影

来自第四维的客人!四维超立方体的直接投影

  现在,我们再来看看四维球体是什么样的。要完成这个目标,我们最好换个更熟悉的例子,就是普通球体在二维面上的投影。假设有一个透明的地球仪,上面标出了所有的大洲和大洋,现在我们将它投影到一面白墙上(如下图)。

地球的平面投影

地球的平面投影

  当然,在这幅投影图中,前后两个半球必然重叠,要是只看投影,你没准会觉得美国纽约和中国北京隔得很近。但这是一个错误的印象。

  事实上,投影上的每一个点都代表着实际球体上两个相对的点,如果有一架航班从纽约飞往中国,那么你将看到,飞机先是一路朝着平面投影的边缘移动,然后再原路返回。两个不同航班在投影图上的航迹可能重叠,但只要这两架飞机“实际”上位于两个不同的半球,那它们绝不会迎面撞上。

  以上就是普通球体二维投影的特性。再发挥一点想象力,我们应该不难揣想四维超球体在三维空间内的投影会是什么样。

  三维球体在二维面上的投影是两个点对点重叠的圆盘,它们只通过共同的边缘相连;那么超球体的三维投影必然是两个重叠的球体,只通过共同的表面相连。这个奇特的结构我们在上一章中已经讨论过了,当时我们举这个例子是为了说明类似封闭球面的封闭三维空间。

  所以现在,我们只需要补充一句:四维球体的三维投影就是上一章中那个连体婴儿般的“双重苹果”,它由两个果皮完全重叠的苹果组成。(如下图)

四维超空间是什么样子?

  以此类推,我们还可以回答关于四维物体特性的很多问题。只是无论怎么尝试,我们可能都无法“想象”,我们这个物理空间中还有第四个独立的维度。

  三维空间中的任意位置都能用前后、左右、上下三个维度来表达。如果我们来到一座陌生的城市,询问酒店前台某家著名公司的位置,那么店员也许会说:“往南走五个街区,然后右转经过两个街区,直接上七楼。”

  这三个数字通常被称为坐标,事实上,要前往一个确定的目的地,无论起点如何变化,只要有一套能够正确描述新起点与目的地之间方位关系的坐标系,我们总能找到正确的方向。

  而第四个维度难以想象的原因在于,它不受前后、左右、上下这三个维度的控制,在人们的头脑里,它是“空间”(三维世界)之外的奇怪存在。

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